不等关系是数学中的基本关系，不等式在数学应用和数学研究中起着非常重要的作用，不等式在数学中是一门独立的分支，而一些不等式在数学分析中起着非常重要的作用，在证明和解决数学问题中都有重要地位，在数学研究中有许多形式优美而且具有重要应用价值的不等式，一般称其为重要不等式.利用重要不等式可以评价命题的科学性，防止产生一些科学性的错误，对研究分析问题都有一定的指导作用。
一、几种重要不等式的混合应用
有些不等式的证明题目如果只使用某一种重要不等式可能不一定达到证明的目的，因此需要交叉使用多个重要不等式，以下给出一个与三角函数有关的不等式命题，该题的证明需要用到Jensen不等式和均值不等式。
例1设P为内任一点，求证：在、、中至少有一个小于或等于
证明设、、；、、由正弦定理知
所以在、、中必有一个角的正弦值不大于，不妨设所以有，否则，此时有或.
二、重要不等式与数学思想方法相结合的应用
重要不等式的许多应用，前面已经论述过，在数学分析中数学思想方法可谓是一个强有力的数学工具，许多重要不等式的证明本身或许就是这些数学思想方法成功运用的典范，当然在不等式的证明问题中如能成功运用这些思想方法将会在解题的灵活性和技巧性上收到事半功倍之效.
例2（Cauchy不等式）若，（），则
分析Cauchy不等式的形式具有一元二次方程根的判别式形式，于是我们想到了构造法.
证明利用非负二次三项式的判别式非正的原理.构造函数
分析 欲证不等式较为复杂，而且不能直接运用均值不等式，所以应采用换元法加以化简变形，构建使用均值不等式的结构。
证明 由已知条件原不等式即证：
而上式当且仅当即时成立.
本文中不等式的证法多是常用的证法，有许多证明方法都是数学思想方法成功运用的典范，现对本文中所涉及到的数学思想方法作出总结，这样可以加深我们对数学思想方法的认识和理解。
（作者单位：黄淮学院数学科学系）
