一、页边太窄了
与哥德巴赫猜想同样闻名予世界数学界，有一个以费尔马命名的猜想。由于这个猜想太出名了，人们常常称之为费尔马大定理。
法国数学家普耶尔·费尔马并不是专业数学家.他学的是法律，是土鲁兹城的著名社会活动家，做过国会参事。但是他在数学史上的名声，更高于他做律师的名望。他十分热受数学，经常提出许多数学问题和猜想，与当时著名的数学家们切磋，他跟巴斯嘉、笛卡尔、惠更斯、贝法尔等学者经常通信。他与笛卡尔同时奠定了解析几何的基础，又与巴斯嘉一道奠定了概率论的基础。在数论方面更有许多伟大的发现。巴斯嘉甚至形容他是当时最好的数学家。关于费尔马的生平很少有人知道，他自己也从设出版过一本书，留在身后的只是一些手稿和笔记，由他的儿子整理出版。在整理费尔马的笔记时，发现在古希腊大数学家刁潘都的书页边上，有他用拉丁语写的一段话，"任何一数的立方不能分解成两立方之和，任何一数的四次方不能分解为两个四次方之和，或更一般的，除二次幂外，两个数的任何次幂的和都不可能等于第三个具有同次禄的数，我已经找到了这个断语的令人惊异的证明方法，但是这书的页边太窄，不容我把证明写出来。”可惜的是，他有长于思崇、提出问题的天才，却矩于一个训练有素的数学家所应有的严谶和周密。人们拽遍了他的文稿和笔记，都搜寻不到这个惊异证明的形迹。人们又曾设法重新证明这个定理，甚至为此设立了高达十万马克的奖金，然而三个多世纪过去了，不知多少数学家为此耗尽心血，仍然没有找到这个定理的一殷证明。囚此，也一直有人试图推翻它，可是三個世纪以来，又没有一个人能举出反例。
二、二个不定方程
几乎所有的初中生都知道平面几何中的勾股定理。这个定理是说：“任意直角三角形斜边的平方可以分解为两直角边的平方之和。"这很象费尔马写在书页上的前两个特例，但是结论却大相径雇。因为要把这直角三角形三边都表成整数丝毫不困难，中国古代算术就有："勾三、股四，弦五”，的口诀，连不识字的老木匠都会背，他们往往据此画出直角来（见图）。把这口诀写成式子就是：
32+42=52
这个定理很古老也很重要，长期没有人想要由它引出什么新的结论，国外所说的毕达哥拉斯定理也是它，它甚至还有一个更加威风的名字：“百牛大祭"。传说公元前六世纪毕达哥拉斯在得到这个定理时，鸭向神祭祀了一百头牛。因此中世纪又把这定理叫“百牛大祭"。中国得到这个证明还要早五百年。
无论岁月多么久远，新的问题终于会被提出米，人们在生产实践中需要解不定方程，甚至还加上了婴求整数解的附加条件.前面3"+42∈52改写成不定力程，即：
x"+y2=x2有整数解。
这是数论中的问题，显然这个不定方程还有82+152=172，122+352=372等等许多整数解。既然指数是平方时有整数解，那么，立方呢？四次方、五次力呢？用数学语言表示，即;
许多数学家曾费尽心力求过这些方积的整数解，可是全都没有结果。尽管这些尝试是不充分的，可是费尔马却敏锐地感到：“它们没有整数解！"
三、猜想的本质和力量
费尔马没有给出证明，这一切就仅仅是猜想。但是这种猜想的价值，远非十万马克所能估量。猜想，就是人们在有限的事实和观察中，发现了可能存在的规律，并且试图推广到无限的，一般的情况中去。猜想的过程，就是从有限的观察和实验这种表象出发，经过整理分析，产生想象和概念，试图越过已有的知识和经验范围，进而揭示事物的本质.这是一个从浅入深，从特殊到一般的过程。没有天才的假设和猜想，科学就不能进步。不仅数学如.此，可以认为，任何一个完备的科学学说的建立，猜想与假设总是必经之路。恩格斯说：“只要自然科学在思维着，它的发展形式就是假说。
对费尔马大定理的探索，引导出了许多新的数学理论和数学方法，产生了巨大的成果。一七九七年，欧拉证明了当n=3、n=4时方程没有整数解，一八二三年勒让德证明了n=5时的情况，一八四O年莱梅与勒贝格证明了n=7时的情况。十九世纪中叶加米罗用艰深的理论和新颖的方法，证明当n等于一百以内所有数时，方程没有整数解……到今天，这个范围更加扩大了。已经有人证明n《106的情况。可是这些后来的证明所使用的数学知识，都超过了费尔马当时的数学知识范围。这确实更加使人感到费尔马当年如何找到证明是个奇怪的谜。不过，无庸置疑的是：费尔马仅凭少数事例而产生的天才猜想，推动了数学的发展。“理想数论”这一崭新的数学分支，正是在这种探求中建立的。数学家高斯说得好：“若无某种大胆放肆的猜测，一般是不可能有知识的进展的。”天才的猜想就是科学进展的动力和源泉。恩格斯也高度评价科学上的这种努力：”如果我们要等待建立定律的材料纯粹化起来，那么这就等于说在此以前要停止思想的研究工作，而定律也就永远不会出现。”看来，一个拘泥于已成学说而不肯迈步超越服前现实的人，难得会有成就。只有那种注意培养自己追真理的能力，而不满足于接受已知成果的人，才有可能成为科学上开拓者。
