摘要：函数一致连续是连续的特殊情况，也是学习的难点。另外函数在一点连续，那么和、差、积、商也连续。函数一致连续它的和差积商是否是一致连续？本文对函数连续概念与已知连续概念进行探讨，也研究了一致连续函数的和差积商的一些性质。
关键词：一致连续；定义；性质
【中图分类号】G642
一致连续概念与性质是数学分析中的难点，初学者不易掌握，而且有困惑有疑问，为什么要学习一致连续？一致连续与连续的联系与区别是什么？等等，所以有必要对一致连续进行研究。
一、一致连续与连续的定义
定义1 （通用的 ）， 有
则称 在区间 一致连续.
定义2 ， 有
则称 在点 处连续，若 在区间 上每一点都连续.，称 在 连续.
注：（1）由定义可知，一致连续必连续，反之，连续不一定一致连续.所以一致连续是连续在条件将强下的特殊.
（2）连续是局部概念，而一致连续是整体概念，若函数 在区间 的每一点都有相应的正数 （假设 固定）， 连续.进一步，若无限多个正数 ，存在一个最小，则 在 一致连续.若 不存在最小， 在 非一致连续.
（3）连续定义中， 不仅与 有关，而且与点的位置也有关.但是，一致连续定义 只与 有关，而与点的位置无关.
（4）一致连续的几何解释： ，对于函数 ，求在 下相应的 ，作一长为 ，直径为 的圆柱形套管，套在 上，保持圆柱形套管母线与 轴平行移动，则圆柱形可毫无阻碍地通过曲线 .
二、一致连续的性质
性质1（Cantor定理） 若函数 在闭区间 连续，则 在 一致连续.
性质2 在有限开区间 一致连续的充要条件是 在 连续，且 及 存在（有限）.
证明：（必要性）已知 当 ， 时，有
，故 ， ， 时，有
据Canchy准则，知 存在（有限），同理 .
（充分性）补充定义 ， ，则 在 连续，由Cantor定理， 在 一致连续.
例1 ， 在 一致连续.
解：据性质2，函数显然在 一致连续.
性质3 若函数 与 在区间 一致连续，则函数 在区间 一致连续. 证明略.
性质4 若函数 与 在区间 一致连续，且有界，则函数 在区间 一致连续.
证明：由 ， 有界，从而存在 ， ，使 ， .因为 ， 在区间 一致连续，据一致连续定义，则 ， ，使 ，且 ， 时，有
， ，令 ，则 ，且 时，
. 命题得证
注：两个一致连续函数的商不一定一致连续.
反例，由例1可知， ， 在 一致连续，但 在 非一致连续.
性质5 函数 在 上一致连续，又在 上一致连续， ，则 在 上一致连续.
证明：由 在 一致连续， ，使当 ，且 时，有 ①
同理， 在 上一致连续，对上述 存在 ，使当 且 时，有 ②
令 ，则对 当 且 时，
（1）若 ，由①式有 .
（2）若 ，由②式有 .
（3）若 ， 时，则 ，
所以， + . 命题得证.
例2 证明函数 在 上一致连续.
证明：先证 在 上一致连续.设 ，且
.
，取 ，当 且 时，有
，即证明 在 上一致连续.
由于 在 上连续，由性质1，从而在 一致连续.
再由性质5， 在 上一致连续.
参考文献：
[1]刘玉琏 等编.数学分析讲义.高等教育出版社，1966.3
[2]陈传璋 等编 数学分析.高等教育出版社，1978.5
[3]孙涛. 数学分析经典习题解析，高等教育出版社 2004.4
[4]裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法，高等教育出版社1993.5
