文章编号：1000-5617（2015）03-0015-04
引言
20世纪70年代以来，生物数学获得了相当人的发展.在此过程中，人口模型在生态学的许多领域已经被广泛的提出并且研究，例如，Lotka和Volterra提出的一种广泛应用的模型。
（1）在lotka-Volterra模型不断发展和完善的进程中，它已经涉及到生物、物理、经济等众多科学的领域，其作用也越来越重要.众所周知，对于动力系统，特别是在生态学中所建立的动力系统模型，要想更加准确的描述或者预测生物种群的未来发展趋势，考虑此时状态与它的前一段时间的状态之间的关系是十分必要的，换句话说，时滞起着非常重要的作用.时滞能够导致平衡点稳定性的改变.而且也能够引起各种振荡和周期解.为了反映依赖于系统过去时间点的模型的动态行为，有必要把时滞加到模型当中在（l）中没有考虑系统的时滞效应.对于这种情况，有作者在文献的基础上，研究了加入时滞后所构成新的时滞环状模型。
（2）模型（2）反映了在一个确定的环境中，三个不同种群之间相互影响、相互制约的关系，x（t）、y（t）、z（t）分别代表三个种群在时间t时刻的种群数量.一个种群的变化速率，不仅受到种群自身数量的影响，还要受到另外一个种群数量的影响.T1，T2，T3分别是具有实际意义的滞量，例如，x（t）所代表的种群的增长率是与y（t）所代表的种群在（t-T2）时刻的数量有关.参数a，b>0.该文通过对模型（2）线性化系统特征根分布的讨论，研究了滞量对模型正平衡点稳定性的影响，并进行了数值模拟.
1 平衡点的稳定性分析考虑模型（2），根据生物学的实际意义，计算可以得到唯一正平衡点
由此得到模型（2）在平衡点E*（x*，y*8，Z*）处的线性化系统
定理1.1 当T=O并且2a>b时，方程（4）的根都具有负实部.
证明 T=0时f（入）=入3 _3m入2 +3m2入一 3
3m3-n3=0.
定理1.2
证明 方程（4）两边同时对丁求导，得
2 数值模拟
利川MATLAB软件进行数值模拟，取参数a=0.4，b=0.6，此时T（0）=1.3828.取T=O，此时模型（3）的唯一正平衡点（1，1，1）是稳定的，如图和图2.
3 生物学意义及结论
该文在典型的生物模型-Lotka -Volterra模型的基础上，通过加入滞量，构造了 -类新的多时滞的Lotka - Volterra模型.由于考虑了时滞对模型的影响，从而更好的反映了生物种群的演变规律，如图1和图2，当参数丁取0时，模型（3）在正平衡点（1，1，1）处是稳定的，如图3，当参数所取的值满足定理1.3条件（1）时，三个种群的数量最后也都是逐渐趋于稳定的，也就是说三个种群的数量最后都处于了一种平衡稳定的状态.如图4，则说明了三个种群在一段时间内，三个种群的数量是近似呈周期性变化的，并且错位排开.而在图5中，所取的参数发生改变，三个种群出现了同步的近似周期解，那也就是说明，三个种群数量经过一段时间之后是呈同步近似周期性变化的，进而这三个种群所构成的小的生态系统达到了一种平衡状态.
