材料学、流体力学、物理学、生物学等等学科领域.除此之外，分数阶偏微分还在现代工程计算中有着广发的应用，由此可见分数阶偏微分方程在理论与应用中都举足轻重。
虽然分数阶微分方程的前景一片光明，但是现在对其研究还有着很多的不足，主要表现在：一数值算法不完善，主要数值算法为有限差分和有限元法;二虽然有了一些数值算法，但没有将其封装为较为成熟的数值计算软件，不能很好满足现在工程计算的需求;三一些具有挑战性的数值计算问题尚未解决，例如长时间段的数值计算以及大空间域的数值计算。
（三）分数阶偏微分方程数值解法研究现状
对于解分数阶偏微分方程来说，最理想的状况就是能求得其解析解，但是绝大多数是无法求得解析解的.虽然对于分数阶常微分方程已经有了多种求解析解的解法，如分离变量法、Fourier变换法、Laplace变化法、镜像法、Mellin变换法等，但是由于分数阶偏微分的特性，将这些方法往分数阶偏微分方程求解的推广并没有取得良好的效果，因此只能对绝大多数分数阶偏微分方程求数值解.
关于对分数阶偏微分方程数值解的研究，最近几十年取得了一些成就，最主要的数值解法包括：有限差分法、有限元法、有限体积法、谱方法、变分迭代法、同伦扰动法等等.在这些方法中有限差分法起步最早，发展的最完善，总体来说较为成熟.谱方法是最新的研究成果，效果最好，但是计算相当复杂，发展还不够完善.本文主要采用有限差分法来解决特定的分数阶偏微分方程.有限差分法主要包括L1，L2、L2C、经典Grunwald公式和移位的Grunwald公式等方法，而且大多数时候还会利用这几种方法之间的结合即加权平均来形成新的解法。
（四）本文研究内容
分数阶微分方程有很强的应用背景，是从一系列的物理应用场景中抽象提取出来的一类微分方程.对于解决与之前所有时间段都相关的问题有着非常重要的意义，特别是在物理、化学、材料力学等方面都有着非常重要的应用[1].
二、差分离散格式
令h为分数阶对流扩散方程的空间步长，，为时间步长，，，。令表示在网格剖分点的值.则表示源项在该网格点出的值。
对式（1a）中的进行二阶中心时间差商离散，并选取作为离散的网格点.而对于式（1a）中的采用相邻网格点和处的二阶中心空间差商，并进行加权平均离散，这样就可以获得这两项的二阶精度离散格式。
而对于式（1a）中的双边分数阶导数和则采用经典的Grunwald公式、向前移位的和向后移位的Grunwald公式进行离散，并取其加权平均而得到空间上具有二阶精度的离散格式，该离散格式如下：
三、数值算例
考虑常系数双边分数阶对流扩散方程（1），且其边初值条件如下：
其中，，则知此时该方程的精确解为：
为了验证该数值解法的精度为二阶，取，最大误差：，精度计算公式：，下表给出了此方程在本文提出的差分格式下的数值解的误差和精度.由表1可知，本文提出的差分离散格式在空间步长减小的情况下，误差也随之减小，且该数值解法具有二阶精度.经典或者移位的Grunwald公式只能获得一阶精度的数值解法，而利用加权Crank-Nicholson格式将两者结合起来则会获得二阶精度的数值解法，所以考虑将经典Grunwald公式和多个移位Grunwald公式进行加权平均获得更高精度的数值解法将是一个很好的研究方向.
参考文献：
[1]郭柏灵，蒲学科，黄凤辉.分数阶偏微分方程及其数值解[M].北京：科学出版2011：1-3，91-92.
[2]Hao Z P ， Sun Z Z ， Cao W R . A fourth-order approximation of fractionalderivatives with its applications[J]. Journal of Computational Physics， 2015， 281：787-805.
[3]Podlubny I.. Fractional differential equations[M]. San Diego：Academic Press，1999：1-4，88-89.
（作者单位：华南理工大学数学学院）
