摘 要 假设股票价格变化过程服从混合分数布朗运动，建立了混合分数布朗环境下支付连续红利的欧式股票期权的定价模型.利用混合分数布朗运动的It公式，将支付连续红利的欧式股票期权的定价问题转化为一个偏微分方程，通过偏微分方程求解获得了混合分数布朗运动环境下支付连续红利的欧式股票看涨期权的定价公式.
关键词 混合分数布朗运动，欧式期权，期权定价
中图分类号 F830.91 文献标识码 A
Pricing European Option in the Mixed Fractional
Brownian Motion Environment
CHEN Feiyue1，2，YANG Yong2，GONG Haiwen3
（1.School of business， Central South University，Changsha， Hunan 410083， China；
2. Insurance Professional College， Changsha， Hunan 410114， China； 3. School of mathematics and Computational Science，
Changsha University of Science and Technology， Changsha， Hunan 410114， China）
Abstract Assuming that the process of stock price follows the mixed fractional Brownian motion，this paper constructed the pricing model for European option of stock paying continuous dividend under mixed fractional Brownian motion environment. The problem of pricing European option of stock paying continuous dividend was changed into the question of partial differential equation by using mixed fractional It formula. The pricing formula of European call option of stock paying continuous dividend in mixed fractional Brownian motion environment was obtained by solving partial differential equation.
Key words mixed fractional Brownian motion；European option；option pricing
1 引 言
欧式期权是一种以股票或其他金融资产为标的资产的合约，其持有者有权利但并非有义务在合约规定的某一特定时间以约定价格买入或卖出某种标的资产.期权具有非线性收益的特征，并兼顾了投资、保值和避险的功能.
期权权定价研究一直是金融工程的核心课题.自从1973年BlackScholes[1]期权定价模型出现以来，其定价理论得到了空前的发展，并取得了丰硕的成果.然而近年来，对资本市场的大量实证研究表明，金融资产（如股票）的对数收益率并非服从正态分布，而是服从一种“尖峰厚尾”的分布，而且金融资产价格也并非随机游走，而是存在着长期相关性.由于分数布朗运动（此后记为FBM）是一种高斯过程，其所具有的加法不变性，自相似性、厚尾性以及长期相关性等性质使得FBM成为较好的刻画金融资产变化过程的工具[2].Duncan[3]等建立了一个关于分数布朗运动的基于Wick乘积的随机积分，称为分形It积分，在该积分下，Necula[4]给出了分数布朗运动环境下欧式期权在任意时刻的定价公式.Hu[5]等对Hurst指数H∈（1/2，1）的FBM情形进行了研究，获得了FBM下的Girsanov公式、ClarkOcone混沌展开公式以及It公式等.Xiao[6]使用等价鞅测度方法研究了带跳扩散的分数布朗运动下的欧式汇率期权定价问题，并获得了欧式汇率期权的解析定价公式.我国学者在分数布朗运动下的期权定价研究方面也作出了不少贡献.肖艳清、邹捷中[7]将经典模型中的计价单位变换方法推广到分数布朗运动市场环境，给出了分数布朗运动下期权定价公式的新的推导方法.梅正阳、杨玉孔[8]研究了一类Hurst指数H∈（1/2，1）的分数布朗运动模型，通过鞅测度变换获得了分数布朗运动下的期权定价控制方程和欧式期权的解析公式.张卫国、肖炜麟、徐伟军、张惜丽[9]应用风险偏好和均衡定价方法，研究了标的资产服从分数布朗运动下的汇率期权定价问题，给出了分数欧式汇率期权的闭式解.林汉燕[10]运用偏微分方程方法推导了分数布朗运动下支付红利的欧式看跌期权价格的显式解.
然而，Bjrk和Hurt[11]研究表明分数布朗运动在刻画金融资产价格的波动时仍存在一些不足，如基于Wick积分的分数布朗运动在金融中的应用会受到限制，同时定义一个合适的关于分数布朗运动的随机积分是比较困难的.另外，在金融中应用分数布朗运动的主要问题是分数布朗运动不是一个半鞅.为了避免这些问题，并考虑金融资产价格过程的长记忆特性，使用混合分数布朗运动来刻画金融资产的波动是合理的[12，13].混合分数布朗运动是一族高斯过程，它是布朗运动与分数布朗运动的线性组合.当参数H>1/2时，混合分数布朗运动是一个特殊的长记忆过程.在经济学中首次使用混合分数布朗运动的学者是P.Cheriditio[14].最近，Sun[15]研究了混合分数布朗环境中的欧式汇率期权的定价问题，而且实证研究和模拟结果表明混合分数布朗运动定价模型是一个合理的模型.孙玉东、师义民[16]运用混合分数布朗运动的It公式，通过偏微分方程求解获得了几何平均型亚式期权看涨期权的定价公式.
目前，运用混合分数布朗运动模型研究期权定价问题的文献还很少，特别是在国内还尚未有学者做过关于混合分数布朗运动环境下支付红利的股票期权定价方面的研究.本文探讨了股票价格遵循混合分数布朗运动下支付连续红利的欧式期权定价问题，首先利用混合分数布朗运动的It公式，将股票支付连续红利的欧式期权的定价问题转化为一个偏微分方程，然后通过偏微分方程求解获得了混合分数布朗运动环境下支付连续红利的欧式看涨期权的定价公式.
2 预备知识
2.1 定义
5 结论与展望
本文采用混合分数布朗运动刻画股票价格的变化过程，研究了混合分数布朗运动环境下支付连续红利的欧式看涨期权的定价模型，通过求解偏微分方程得到了期权定价公式的显示解，从而将分数布朗运动的期权定价模型进行了改进.但是，本文提出的模型仍然没有脱离BlackScholes理论框架，为了简化模型而所作的一些假设显然与现实有出入，且模型中没有考虑金融市场中人的行为等因素，证券市场实际存在的一些约束条件如存在涨跌停板限制以及送股、配股等因素也没有在模型中体现出来，所以模型有待进一步改进和修正.如何将更多的因素统一到定价模型中期待更多的学者深入研究.目前，国外已有学者尝试采用随机模糊理论对期权等金融衍生品进行定价，从而为期权定价开辟了新的方法途径.
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